Cuál es el “problema de los besos” que ha inquietado a los matemáticos durante siglos | Noticias de México

Todo comenzó en el siglo XVI con el famoso explorador o pirata (dependiendo del punto de vista) Sir Walter Raleigh. Lo que puede sorprenderte después de leer el título, ya que él no era matemático ni, que sepamos, tenía problemas con los besos.

Lo que sí tenía eran balas de cañón, y una pregunta: cuál era la forma más efectiva de apilarlas para minimizar al máximo el espacio que ocupaban en sus naves.

Era un problema matemático, y en matemáticas esas balas son esferas y “besándose” es como se llaman los puntos donde una esfera toca a otra.

La pregunta de Raleigh generaría un misterio matemático eso ocuparía mentes brillantes durante cientos de años.

Le preguntó quién fue su asesor científico en su viaje a América en 1585, el eminente matemático Thomas Harriot, quien le dio la solución:

La mejor forma de guardar tus balas de cañón era ordenarlos en forma de pirámide.

En un manuscrito de 1591, Harriot le hizo una tabla que mostraba cómo, dada la cantidad de balas de cañón, se podía calcular cuántas colocar en la base de una pirámide con base triangular, cuadrada u oblonga.

Pero Harriot siguió pensando en el asunto, por lo que consideró las implicaciones para la teoría atómica de la materia, que estaba en boga en ese momento.

Y comentando esa teoría en su correspondencia con su amigo Johannes Kepler, el famoso astrónomo, mencionó el problema del empaque.

Kepler conjeturó que la forma óptima de minimizar el espacio dejado por los espacios entre las esferas era hacer en cada capa los centros de las esferas estaban encima de donde las esferas se besaron en la capa inferior.

Esto es lo que se suele hacer con las frutas en los mercados.

Eso, que parece tan intuitivamente obvio, era extremadamente difícil probar matemáticamente.

Aunque muchos lo intentaron, incluido “el príncipe de las matemáticas”, Johann Carl Friedrich Gauss, solo se demostró casi cuatro siglos después, en 1998, con el trabajo de Thomas Hales de la Universidad de Michigan y el poder de una computadora.

E incluso esa verificación no convenció a todos los matemáticos; aún hoy hay quienes no la consideran digna de la conjetura de Kepler.

incógnitas obstinadas

Ese no fue el único dolor de cabeza causado por los objetos esféricos.

De hecho, una amplia categoría de problemas matemáticos se denomina “problemas de empaquetamiento de esferas”.

Resolverlos ha servido desde explorar la estructura de los cristales hasta optimizar las señales que envían los teléfonos móviles, las sondas espaciales e Internet.

Y al igual que Raleigh con sus balas de cañón, logística, materias primas y muchas otras industrias dependen en gran medida de los métodos de optimización proporcionados por las matemáticas.

Los matemáticos descubrieron, por ejemplo, que las esferas apiladas al azar tienden a ocupar cualquier espacio con una densidad de ~64 %. Pero si los coloca cuidadosamente en orden de formas específicas, puede llegar al 74%.

Ese 10% representa ahorros no solo en costos de transporte sino también en daños al medio ambiente.

Pero aplicaciones prácticas como esa requieren pruebas matemáticas, y el empaquetamiento de esferas ha arrojado incógnitas particularmente difíciles, como lo hizo la conjetura de Kepler.

Uno de ellos surgió de una conversación entre Isaac Newton, uno de los más grandes científicos de todos los tiempos, y David Gregoryel primer profesor universitario en enseñar las teorías de vanguardia de Newton.

Era un problema de cantidad de besos, pero…

¿Qué son?

Imagina que tienes varios círculos de cartón del mismo tamaño y los quieres pegar en una tabla alrededor de uno de ellos.

El número de besos es igual a la cantidad máxima de círculos que puedes colocar besando -o tocando- el central.

Tan sencillo como eso.

Bueno, resulta que los matemáticos han demostrado que se puede colocar máximo 6 círculos alrededor de la inicialentonces el número de besos es 6.

Ahora imagina que en lugar de círculos de cartón tienes pelotas de gomatodos del mismo tamaño.

De nuevo la pregunta es: ¿cuál es el número máximo de bolas que puedes poner alrededor de un centro?

Al agregar esa tercera dimensión -el volumen-, la cuestión de especificar el número de besos se volvió más complicada.

Y tomó dos siglos y medio sin complicaciones

newton y gregorio

El asunto comenzó con aquella famosa discusión entre Newton y Gregory, que tuvo lugar en 1694 en el campus de la Universidad de Cambridge.

Newton ya tenía 51 años y Gregory le hizo una visita de varios días en la que hablaron sin parar de ciencia.

La conversación fue bastante unilateral, con Gregory tomando notas de todo lo que decía el gran maestro.

Uno de los puntos discutidos y registrados en el memorándum de Gregory fue cuántos planetas giran alrededor del Sol.

A partir de ahí, la discusión se fue por la tangente, a la cuestión de cuántas esferas del mismo tamaño se pueden disponer en capas concéntricas para que toquen una central.

Gregory afirmó – sin mucho preámbulo – que la primera capa que rodea una bola central tenía un Máximo de 13 esferas.

Para Newton el número de besos fueron 12.

Gregory y Newton nunca estuvieron de acuerdo y nunca supieron cuál era la respuesta correcta.

Hoy en día, el hecho de que la mayor cantidad de esferas que una planta de energía puede besar a menudo se denomina “número de Newton” revela quién tenía razón.

El debate sólo cesó en 1953, cuando el matemático alemán Kurt Schütte y el holandés BL van der Waerden demostró que el número de besos en tres dimensiones yo tenia 12 y solo 12.

La pregunta era importante porque un grupo de esferas empaquetadas tendrá un número promedio de besos, lo que ayuda a describir matemáticamente la situación.

Pero hay cuestiones sin resolver.

Miles de besos

Más allá de las dimensiones 1 (intervalos), 2 (círculos) y 3 (esferas), el problema de los besos está casi sin resolver.

Solo hay otros dos casos en los que se conoce el número de besos.

En 2016, la matemática ucraniana Maryna Viazovska estableció que el numero de besos en dimensión 8 es 240, y en dimensión 24 es 196,560.

Para las otras dimensiones, los matemáticos han reducido lentamente las posibilidades a rangos estrechos.

Para dimensiones superiores a 24, o una teoría general, el problema esta abierto.

Hay varios obstáculos para una solución completa, incluidas las limitaciones computacionales, pero se espera un progreso incremental en este problema en los próximos años.

Pero, ¿De qué sirve empaquetar esferas de dimensión 8, por ejemplo?

El topólogo algebraico Jaume Aguadé respondió a esa pregunta en un artículo de 1991 titulado “Cien años de E8”.

“Se utiliza para hacer llamadas telefónicas, para escuchar a Mozart en un disco compacto, para enviar un fax, para ver la televisión por satélite, para conectarse, a través de un módem, con una red informática.

“Se utiliza en todos aquellos procesos en los que se requiere la transmisión eficiente de información digital.

“La teoría de la información nos enseña que los códigos de transmisión de señales son más confiables en dimensiones superiores y la red E8, con su sorprendente simetría y dada la existencia de un decodificador apropiado, Es un instrumento fundamental en la teoría de la codificación y transmisión de señales.“.

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