Imagina que el aumento de sueldo que has estado esperando durante años depende de que hagas una sola cosa.
Su jefe está organizando una conferencia y ha confirmado que siete expertos principales discutirán entre sí en mesas redondas y pide que cada uno tenga solo tres panelistas.
Hasta aquí todo bien, ¿no? ¿Ya estás viendo tu cuenta bancaria?
Pero hay un detalle que descubres cuando hablas con cada panelista: además de ser los mejores en sus campos, no se llevan nada bien entre ellos y cada uno, a su manera, te pone una condición. :
“Puedo participar en las mesas que necesites, pero solo quiero coincidir con cada uno de los otros seis invitados solo una vezNi uno más, pero tampoco uno menos”.
¡No te estreses!
Lo que te pide tu jefe es muy similar a lo que consideró el matemático británico Thomas Kirkman en 1850 y eso se conoce como el problema de las colegialas.
Aquí, de la mano de Raúl Ibáñez, catedrático de matemáticas de la Universidad del País Vasco, te contamos de qué se trata.
“El problema de los estudiantes ha sido fascinante durante mucho tiempo. Parece un rompecabezas, un acertijo, pero detrás tiene aspectos muy profundos”, dice el divulgador científico y autor de varios artículos y libros sobre matemáticas.
De hecho, en uno de ellos, dedicó un capítulo entero a este problema.
“Parece fácil, pero es muy complicado en sí mismo y la resolución no siempre es fácil”.
teoría de grupos
Kirkman nació en Manchester, Inglaterra, en 1806.
Aunque su maestro en la escuela vio su potencial para ser aceptado en la Universidad de Cambridge, su padre tenía otros planes.
Esta ilustración del histórico Trinity College en Dublín, Irlanda, apareció en The Illustrated London News en 1873.
“Thomas se vio obligado a abandonar la escuela a la edad de 14 años” y se fue a trabajar a la oficina de su papá”, dijeron los profesores John Joshep O’Connor y Edmund Frederick Robertson de St. Andrews, en el Reino Unido.
“Después de nueve años trabajando en la oficina, Thomas fue en contra de los deseos de su padre y entró en el Trinity College de Dublín para estudiar matemáticas, filosofía, clásicos y ciencias para obtener una licenciatura”.
En 1835, Kirkman regresó a Inglaterra y cuatro años más tarde se convirtió en vicario de una parroquia de la Iglesia de Inglaterra, cargo que ocupó durante 52 años. Se casó y tuvo tres hijos.
Como Robin Wilson, Profesor Emérito de Matemáticas Puras en la Universidad Abierta, Reino Unido, señaló en el artículo La historia temprana de los diseños de bloques (The Early History of Block Designs), los deberes parroquiales de Kirkman “ocuparon poco de su tiempo”.
Por lo que el reverendo “concentró mucho esfuerzo en su investigación matemática, especialmente en temas algebraicos y combinatorios”.
sistemas triples
En 1846 presentó su primer artículo, que tituló: Sobre un problema de combinaciones (Sobre un problema de combinaciones) y que fue publicado en 1847 en la revista Revista matemática de Cambridge y Dublín.
Se considera un texto pionero porque resolvió el problema de “Steiner triplica“, varios años antes de que lo propusiera el propio Jakob Steiner, considerado uno de los geómetras más destacados del siglo XIX.
Jakob Steiner, matemático suizo, nació en 1796 y murió en 1863.
“Aunque estos triples deberían haberse llamado, quizás, Kirkman, ya que los envió primero”, dice Ibañez.
A lo largo de su carrera, el matemático profundizó en la teoría de grupos e hizo importantes contribuciones a la combinatoria.
matemáticas recreativas
Kirkman publicó el problema de la colegiala en Diario de damas y caballerosrevista dedicada a cuestiones matemáticas, adivinanzas y poesía.
El matemático inglés Arthur Cayley es considerado el líder de la escuela británica de matemáticas puras que surgió en el siglo XIX.
Era un juego de ingenio, una recreación matemática, que proponía de la siguiente manera:
“Quince jóvenes estudiantes salen a caminar todos los días de la semana, de lunes a domingo, de manera ordenada, formando cinco filas de tres estudiantes cada una, cómo organizarlas todos los días de la semana para que ningún par de estudiantes comparte una fila por más de un día?”
El enfoque llamó la atención de varios matemáticos de renombre, incluido el británico Arthur Cayley, quien rápidamente publicó una solución.
Kirkman también presentaría uno, y de ahí en adelante vendrían más resoluciones.
El problema de la colegiala se le ocurrió justo cuando estaba escribiendo su artículo sobre los sistemas triples.
“Tenemos n elementos, 1, 2, 3 hasta n, y la idea era crear colecciones de tres números a partir de este conjunto, que se llaman bloques, de modo que cada par de elementos apareciera en exactamente un trío”, explica Ibáñez.
Lo que nos pide Kirkman con su problema es que para 15 personas o elementos desarrollemos un sistema de triples, separados en siete grupos (uno para cada día de la semana), de forma que en cada uno de ellos estén todos los alumnos, o elementos.
los quadsanunciotu de ‘habitación‘
Cayley es considerado uno de los fundadores de la escuela británica de matemáticas puras, que surgió en el siglo XIX.
En 1850 decidió fijarse en las 15 colegialas y llegó a una solución a través de lo que se conoce como las plazas de habitación.
en un cuadrado de habitaciónexplica el profesor, tenemos n+1 símbolos.
Imagina 8 números, del 1 al 8.
Como elegimos 8 símbolos, hacemos una tabla de 7 x 7: siete filas y siete columnas.
Pero, tienes que cumplir tres condiciones para hacerlo:
- Cada caja o está vacío o tiene un par de números. Por ejemplo, una caja puede tener 35, otra puede tener 86, otra puede tener 13 o nada.
- Cada símbolo aparece solo una vez en cada fila y en cada columna. Por ejemplo, si vemos una fila, aparecerá el 1 en una de las celdas, el 2 en otra, y así hasta el 8, y en las columnas lo mismo, pero aparecerán formando un par de números.
- Cada par desordenado de símbolos aparece en una sola entrada. Por ejemplo, la pareja 12 aparece una sola vez en toda la tabla, la pareja 13 una vez, y así hasta el final, hasta la pareja 78.
Un ejemplo sería:
Lo que hizo Cayley fue usar este tipo de cuadrado de habitación y combinarlo con los sistemas triples, que ya estaba estudiando Kirkman, para llegar a una solución al problema de las colegialas.
Cayley distribuyó a los 15 estudiantes de la siguiente manera: en Nombró los primeros 7 con letras.de “a” a “g”, y los otros 8 con númerosdel 1 al 8
Los números son para hacer un cuadrado de habitacióncomo el de arriba, y las letras sirvieron para hacer sistemas triples de orden siete, así:
Ponemos estos triples a la izquierda del cuadrado de habitación y se vería así:
¡Una solución!
De esa estructura surge una solución.
Traduzcamos esa tabla a las 15 colegialas y los siete días que salen a caminar.
Pero primero, pongamos nombres a las letras y números en el gráfico de Cayley:
- a = ana
- b=Bea
- c=villancico
- d=diana
- e=Emma
- f=fanny
- g=gina
- 1=María
- 2 = Kate
- 3=Yeny
- 4=Lola
- 5=Sofía
- 6=Gabi
- 7 = pili
- 8=Yoli
La solución viene del cuadrado de letras y números de arriba.
Cada fila, en la misma, nos da los grupos de tres alumnos para cada uno de los siete días de la semana.
Así que el lunes es abc, d35, e17, f82, g64. La solución, con nuestros alumnos, sería entonces:
El arte de la combinatoria
Tanto el reverendo Kirkman como Cayley “sabían que había algo profundo detrás de ese problema, así que lo persiguieron”, dice Ibáñez.
“La combinatoria es el arte de seleccionar, u ordenar, los elementos de un determinado conjunto” y eso es precisamente lo que nos muestra Cayley con su solución: el problema de las colegialas es de organización.
“Los estudiantes y cómo se agrupan para asistir a la escuela todos los días son un metáfora de una estructura matemáticade hecho, combinatoria, que se puede utilizar en muchos otros aspectos de nuestras vidas”.
“Esta es la razón por la que las matemáticas son abstractas, por lo que es una herramienta que se puede utilizar en contextos muy diferentes, como la física, la biología, la química o la medicina”.
Según el experto, las matemáticas involucradas en el problema de las colegialas forman parte de toda una rama que es fundamental en teoría de códigos y criptografía, planificación, geometría, diseño de experimentos estadísticos, teoría de computadores, redes de comunicación. .
“Todo esto que surge del intento de resolver un problema de ingenio, terminó convirtiéndose en dos teorías matemáticas: los sistemas triples de Steiner y la teoría de diseños de bloques, ambos con muchas aplicaciones prácticas”.
Y es que las matemáticas “no se contentan” con resolver un problema.
“A veces, como en este caso, también buscan ver de cuántas maneras diferentes se puede resolver. Y para el problema del estudiante de Kirkman se demostró, a principios del siglo XX, que había 80 soluciones diferentes”.
El problema que da para más
Las colegialas también dieron lugar a nuevos problemas.
Martin Gardner, considerado un maestro de las matemáticas recreativas, popularizó el problema de los 9 prisioneros, que Henry Ernest Dudeney ideó con la esencia de las colegialas de Kirkman.
“Otra práctica común en la ciencia pitagórica es plantear el problema de manera más general. Así fue como se propuso el problema del estudiante para grupos con otro número de estudiantes.
La resolución de todos los casos no llegó hasta 1968 cuando Ray-Chaudhuri y RM Wilson publicaron la “solución completa del caso general”.
Aún así, el problema sigue abierto porque los sistemas triples de Steiner, o más generalmente el diseño de bloques, es una rama “muy activa” de las matemáticas.
“Un problema de ingenio como este que era, a priori, una pequeña pregunta, se ha convertido en una teoría con cientos de temas abiertos, investigaciones, artículos, libros“.
Al tratar de resolverlo, muchos matemáticos han utilizado y desarrollado diferentes técnicas.
Por ejemplo, el matemático estadounidense Martin Gardner publicó en Científico americano una solución geométrica al problema de los alumnos: un círculo que -con números y triángulos encima- ofrece una respuesta diferente con sólo girarlo.
Volviendo al problema que te podría dar el ansiado aumento de sueldo, la respuesta es que asignes a cada uno de tus invitados un número y creas un…
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